Funkcja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Funkcje matematyczne

dziedzina i przeciwdziedzina
obraz i przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
stała • liniowa • kwadratowa
wielomianowa • wymierna
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne
cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość
monotoniczność
ograniczoność • okresowość
różnowartościowość • „na”
wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja – intuicyjnie: sposób przyporządkowania każdemu elementowi danego zbioru X dokładnie jednego elementu pewnego zbioru Y.

Ściśle funkcja jest definiowana jako relacja pomiędzy elementami zbioru X (dziedziny) i elementami zbioru Y (przeciwdziedziny), o tej własności, że każdy element zbioru X jest w relacji z dokładnie jednym elementem zbioru Y.

[edytuj] Przykłady i najważniejsze powiązane pojęcia

Załóżmy, że między dwoma liczbami całkowitymi $x\,$ i $y\,$ zachodzi związek $y = 2x\,$ . Ta zależność pozwala jednoznacznie wyznaczyć $y\,$ mając dany $x\,$ , np. dla $x = 5\,$ mamy $y = 10\,$ , dla $x = 2\,$ mamy $y = 4\,$ . Jest to zatem funkcja.

Każda funkcja przyporządkowuje argumentom (tutaj oznaczanym $x\,$ ) odpowiadające im wartości (tutaj oznaczane $y$ ). Oznaczając funkcję literą $f\,$ , wartość dla argumentu $x$ zapisuje się $f(x)\,$ (czyt. "f od x")^[1]. Tak więc dla argumentu $5\,$ wartością funkcji $f\,$ jest $10\,$ , czyli $f(5) = 10\,$ .

Dziedziną funkcji nazywa się zbiór wszystkich argumentów, a zbiorem wartości (obrazem) zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję; w tym przykładzie dziedziną jest zbiór liczb całkowitych, a zbiorem wartości zbiór liczb parzystych. Często wymaga się podania przeciwdziedziny, która zawiera zbiór wartości, lecz nie musi być mu równa^[2]. Jeżeli w podanym tu przykładzie za przeciwdziedzinę obierzemy zbiór liczb całkowitych, to liczby nieparzyste nie będą w zbiorze wartości.

Zdanie " $f$ jest funkcją o dziedzinie $X\,$ i przeciwdziedzinie $Y\,$ " zapisuje się $f\colon X \to Y\,$ , zbiór wszystkich funkcji $X \to Y\,$ zapisuje się $Y^X\,$ .

Funkcje nie muszą odnosić się do liczb. Przykłady:

przyporządkowanie każdemu ciału fizycznemu jego środka ciężkości,
przyporządkowanie każdemu mieszkańcowi miasta jego pierwszego imienia,
symetria względem pewnej prostej,
symetria względem pewnego punktu.

[edytuj] Nazwa

W matematyce określenia: funkcja, przekształcenie, odwzorowanie, transformacja, operator, działanie, itd. są zwykle synonimami. Jednakże w różnych dyscyplinach matematycznych preferowane jest używanie niektórych z nich, znaczenie niektórych zostało zaś zawężone. Użycie konkretnej nazwy podyktowane jest dzisiaj przede wszystkim względami historycznymi.

Choć w analizie matematycznej rozpatruje się przede wszystkim funkcje, to w geometrii, algebrze liniowej mówi się o przekształceniach (przekształceniach liniowych), w algebrze uniwersalnej rozważa się z kolei działania, zaś w analizie funkcjonalnej bada się własności operatorów, czy funkcjonałów.

[edytuj] Sposoby określenia funkcji

Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru $X\,$ przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru $Y\,$ . Dwóm różnym elementom w $X\,$ może odpowiadać ten sam element $Y\,$ . Nie każdy element zbioru $Y\,$ musi być wartością funkcji.

Jeżeli dziedzina $X\,$ jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Najczęściej funkcje definiuje się wzorem lub ogólniej – algorytmem^[3], tj. metodą pozwalającą znaleźć $f(x)\,$ dla danego $x \in X\,$ . Możliwe jest użycie rekursji, rozwinięcia w szereg potęgowy itp.

Czasem można określić funkcję opisem słownym, który bywa niekiedy wygodniejszy, np. "każdej liczbie całkowitej dodatniej $n\,$ przyporządkowujemy $n\,$ -tą liczbę pierwszą".

W matematyce stosowanej funkcje często określa się za pomocą tabeli lub wykresu. Nie pozwala to na ogół ustalić dokładnej zależności, lecz przy pewnych założeniach możliwa jest ich interpolacja (przybliżanie), całkowanie numeryczne itp.

[edytuj] Pojęcia

[edytuj] Złożenie. Iteracja

Osobny artykuł: złożenie funkcji.

Dwie funkcje

f

i

g

. Ich złożenie przyjmuje wartości:
$(g \circ f)(\mbox{a})=$ @
$(g \circ f)(\mbox{b})=$ @
$(g \circ f)(\mbox{c})=$ #
$(g \circ f)(\mbox{d})=$ !!

Mając dwie funkcje $f\colon X \to Y$ i $g\colon Y \to Z$ , można utworzyć funkcję złożoną $(g \circ f)\colon X \to Z$ , określoną wzorem $(g \circ f)(x) = g\left(f(x)\right)$ .

Wielokrotne złożenie funkcji $f\colon X \to X$ nosi nazwę iteracji. Ściśle: $n$ -tą iteracją funkcji $f$ nazywa się funkcję

$f^n = \begin{matrix}\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}\\{n}\\[-4ex]\end{matrix}.$

[edytuj] Funkcja różnowartościowa

Osobny artykuł: funkcja różnowartościowa.

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją różnowartościową (iniekcją), gdy dla każdych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości. Symbolicznie:

$\forall_{x_1,x_2\in X}\; x_1 \ne x_2 \implies f(x_1) \ne f(x_2)$

Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja określona wzorem $f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x) = x + 5$ .

[edytuj] Funkcja "na"

Osobny artykuł: funkcja "na".

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją "na" (suriekcją), jeżeli jej przeciwdziedzina $Y$ jest równocześnie jej zbiorem wartości. Oznacza to, że dla każdego $y \in Y$ istnieje co najmniej jedno $x \in X$ takie, że $f (x) = y$ .

[edytuj] Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Osobne artykuły: funkcja wzajemnie jednoznaczna, permutacja.

Funkcję będącą jednocześnie różnowartościową i "na" nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją). Innymi słowy, bijekcja przyporządkowuje każdemu $x \in X$ dokładnie jedno $y \in Y$ (i na odwrót). Bijekcja $f\colon X \to Y$ może istnieć tylko wtedy, gdy zbiory $X$ i $Y$ mają tyle samo elementów (są równej mocy). Bijekcję $f\colon X \to X$ nazywa się permutacją.

[edytuj] Funkcja odwrotna

Osobny artykuł: funkcja odwrotna.

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję $f^{-1}\colon Y \to X$ taką, że $(f \circ f^{-1})(x) = x$ , którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

[edytuj] Punkt stały

Osobny artykuł: punkt stały.

Jeżeli dla pewnego $x \in X$ zachodzi $f (x) = x$ , wtedy $x$ nazywa się punktem stałym funkcji $f$ . Przykładowo, jeżeli $S l$ jest symetrią względem prostej $l$ , to dla punktów $P$ leżących na $l$ zachodzi $S l (P) = P$ .

[edytuj] Niezmiennik

Jeżeli funkcja nie zmienia pewnej cechy obiektów, to tę cechę nazywa się niezmiennikiem funkcji. Przykładowo, niezmiennikiem funkcji $f\colon\mathbb R \to \mathbb R,\; f(x) = -x$ jest wartość bezwzględna liczby rzeczywistej. Istotnie: $| f (x) | = | - x | = | x |$ . Niezmiennikiem funkcji $f (x) = 2 x$ jest znak liczby: wartość funkcji dla liczby dodatniej jest liczbą dodatnią, dla zera jest równa zeru, dla liczby ujemnej jest liczbą ujemną.

[edytuj] Obraz

Osobny artykuł: obraz (matematyka).

Obrazem zbioru $A \subseteq X$ poprzez funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się podzbiór elementów $y \in Y$ , dla których istnieje $x \in A$ że $f (x) = y$ . Symbolicznie:

$f(A) = \left\{y \in Y\colon \exists_{x \in A}\; y = f(x)\right\} \subseteq Y$

Przykładowo, obrazem zbioru liczb dodatnich poprzez funkcję $f (x) = - x$ jest zbiór liczb ujemnych. Obrazem dziedziny funkcji poprzez tę funkcję jest jej zbiór wartości nazywany również obrazem funkcji.

[edytuj] Przeciwobraz

Osobny artykuł: przeciwobraz.

Przeciwobrazem zbioru $B \subseteq Y$ nazywa się zbiór argumentów $x \in X$ , którym są przyporządkowane elementy zbioru $B$ :

$f^{-1}(B) = \left\{x \in X\colon \exist_{y \in B}\; f(x) = y\right\} \subseteq X$ .

[edytuj] Zawężenie

Mając daną funkcję $f\colon X \to Y$ można określić jej zawężenie (obcięcie) do zbioru $M \subseteq X$ . Jest to funkcja $f|_M\colon M \to Y$ taka, że $f|_M(x) = f(x)\,$ dla każdego $x \in M$ .

Jeżeli $f\colon X \to Y$ jest funkcją, a $f|_M\colon M \to Y$ jest jej zawężeniem do zbioru $M \subset X$ , to dla dowolnego zbioru $B \subset Y$ mamy $\left(f|_M \right)^{-1} (B) = M \cap f^{-1}(B)$ .

[edytuj] Wykres

Osobny artykuł: wykres funkcji.

Wykresem funkcji $f$ na zbiorze $A \subseteq X$ nazywa się zbiór par uporządkowanych $\left(x, f(x)\right)$ dla wszystkich $x \in A,$ tzn. zbiór

$W_f(A) = \left\{\left(x, f(x)\right)\colon x \in A \right\} \subseteq X \times Y$ .

Wykres funkcji $W f (A)$ nie jest tym samym co jej obraz $f (A)$ – pierwszy z nich jest zbiorem par uporządkowanych elementów dziedziny i przeciwdziedziny (argumentów i ich obrazów), drugi zaś wyłącznie podzbiorem przeciwdziedziny.

[edytuj] Funkcje w analizie matematycznej

Funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej nazywa się każdą funkcję $f\colon X \to Y$ gdzie $X, Y \subseteq \mathbb R$ . Podobnie definiuje się funkcję zespoloną zmiennej zespolonej. Funkcje te są rozważane głównie w działach analizy matematycznej: analizie rzeczywistej i analizie zespolonej.

Na takich funkcjach można wykonywać działania, o ile tylko $x$ należy zarówno do dziedziny $f$ jak i dziedziny $g$ :

$(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$
$(f g)(x) = f (x) g (x)$
$\left(\tfrac{f}{g}\right)(x) = \tfrac{f(x)}{g(x)}$ dla $g(x) \ne 0$

Matematycznym modelem zbioru funkcji z określonymi działaniami jest przestrzeń funkcyjna.

[edytuj] Rodzaje

Niektóre szczególne rodzaje funkcji:

funkcje monotoniczne – wartości dla kolejnych argumentów są coraz większe, mniejsze, nie mniejsze, lub nie większe;
funkcje ograniczone – zbiór wartości jest ograniczony;
funkcje parzyste i nieparzyste – wykres jest symetryczny względem osi $O Y$ (dla funkcji parzystej) bądź początku układu współrzędnych (dla funkcji nieparzystej);
funkcje okresowe – wartości „powtarzają się” co pewną ustaloną wartość nazwaną okresem;
funkcje ciągłe – zachowujące bliskość argumentów (ich wykres można nakreślić „bez odrywania ołówka od kartki”);
funkcje różniczkowalne – mające pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny.

Zobacz też: funkcje elementarne, funkcje specjalne, badanie przebiegu zmienności funkcji, granica funkcji.

[edytuj] Definicja

Intuicyjna definicja funkcji jako przyporządkowania jest używana również dzisiaj, np. w podręcznikach wprowadzających do analizy matematycznej. Jest ona wystarczająca dla dużej liczby zastosowań, lecz używa pojęcia „przyporządkowania”, którego sens trudno oddać formalnie. Poniżej podano definicję, nie zawierającą takiej nieścisłości.

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywa się podzbiór iloczynu kartezjańskiego $W \subseteq X \times Y$ (relację dwuargumentową) spełniający warunki

$\forall_{x \in X}\; \exists_{y \in Y}\; (x,y)\in W,$

$\forall_{x \in X}\; \forall_{y \in Y}\; \forall_{z \in Y}\; (x,y)\in W \and (x,z)\in W \Rightarrow y = z,$

czyli

każdy element zbioru

X

musi być w relacji z dokładnie jednym elementem zbioru

Y .

Zbiór $X$ nazywa się dziedziną, a zbiór $Y$ – przeciwdziedziną funkcji $f .$ Zbiór $W$ nazywa się wykresem funkcji $f .$

Jeżeli $x \in X,$ to element $y$ dla którego $(x, y)\in W,$ nazywa się wartością funkcji dla elementu (w punkcie) $x,$ co zapisuje się $f (x) = y .$ Z definicji wynika, że $y$ jest wyznaczone jednoznacznie. Dla $x \notin X$ symbol $f (x)$ jest nieokreślony.

Przy określaniu funkcji należy podać przeciwdziedzinę, ponieważ nie wyznacza jej zbiór $W$ . Jednak często (np. w teorii mnogości) funkcje i ich wykresy są utożsamiane; wówczas podanie przeciwdziedziny nie jest wymagane. Niekiedy funkcję definiuje się jako trójkę uporządkowaną $(X,\; Y,\; f)$ ; przy takiej definicji, funkcje o różnych przeciwdziedzinach uważa się za różne.

[edytuj] Funkcje jako struktury

Funkcje odgrywają ważną rolę w matematyce jako środki pomocnicze do tworzenia innych struktur (układów).

Przykład: Zapiszmy liczby $4,5,6,7$ w tabeli $2 \times 2:$

$\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 6 & 7\\ \end{pmatrix}$

Taką tabelę można przedstawić w postaci funkcji, która przyporządkowuje każdemu miejscu w tabeli jedną z liczb. Poszczególne miejsca będą reprezentowane jako pary

(i, j)

oznaczające numer wiersza i kolumny:

$(2, 1) \mapsto 6$

Ogólnie każdą taką tabelę można zapisać w postaci funkcji

$\{(1, 1),\ (1, 2),\ (2, 1),\ (2, 2)\} \to \mathbb R,\quad (i,j )\mapsto a_{ij};$

wtedy będą znajdować się w niej liczby

a 11

,

a 12

,

a 21

i

a 22

.

W taki sposób definiuje się obiekty takie jak ciągi i macierze. Należy pamiętać o różnicach w nomenklaturze: mimo że ciągi i macierze są funkcjami, to mówi się o "wyrazach" i "wskaźnikach", a nie "wartościach" i "argumentach" ciągu, "elementach", a nie "wartościach" macierzy.

[edytuj] Równania funkcyjne

Osobny artykuł: równanie funkcyjne.

Równanie funkcyjne to równanie, w którym niewiadomą jest funkcja. Przykładami mogą być równania różniczkowe i równania całkowe.

[edytuj] Uogólnienia

[edytuj] Funkcje wielu zmiennych

Osobny artykuł: funkcja wielu zmiennych.

Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór par uporządkowanych $(x, y)$ , to można mówić o funkcji dwóch zmiennych. Przykładowo, jeżeli każdej parze $(x, y)$ liczb całkowitych przyporządkujemy ich iloczyn $x y$ , można mówić o funkcji

f ((x, y)) = x y,

definiującej działanie mnożenia w tym zbiorze; zwykle jednak stosuje się notację

f (x, y) = x y .

W geometrii przykładem funkcji dwóch zmiennych jest odległość. W analogiczny sposób definiuje się funkcje większej liczby zmiennych.

[edytuj] Funkcje wielowartościowe

Osobny artykuł: multifunkcja.

Z definicji funkcja przypisuje każdemu elementowi dziedziny dokładnie jeden element przeciwdziedziny. Wprowadzono jednak również tzw. funkcje wielowartościowe lub multifunkcje, które danemu elementowi dziedziny przypisują więcej niż jeden element przeciwdziedziny. Należą do nich przykładowo rozważane w analizie zespolonej funkcje $ln x$ , $arcsin x$ , $x 1 / n$ (w gruncie rzeczy zależą one wszystkie od funkcji argumentu $arg x$ ).

Chcąc rozważać jednocześnie wszystkie możliwe wartości takich funkcji wprowadza się tzw. funkcje wielowartościowe lub wielolistne^{[potrzebne źródło]} (multifunkcje), dla odróżnienia klasyczne funkcje nazywa się czasami funkcjami jednowartościowymi lub jednolistnymi^{[potrzebne źródło]}. Każda funkcja wielowartościowa ze zbioru $X$ w $Y$ może być przedstawiona jako funkcja jednowartościowa ze zbioru $X$ w zbiór potęgowy $\mathcal{P}(Y)$ .

Funkcje wielowartościowe pojawiają się też w innych kontekstach, np. za funkcję wielowartościową można uważać także operator całkowania,

$\int f(x)dx = F(x) + C$ ,

którego wartościami są rodziny funkcji pierwotnych.

[edytuj] Funkcje częściowe

Osobny artykuł: funkcja częściowa.

[edytuj] Dystrybucje

Osobny artykuł: dystrybucja (matematyka).

[edytuj] Morfizmy

Osobny artykuł: morfizm.

Na funkcję można patrzeć jako na przekształcenie

$f \colon a \to b$

jednego obiektu w drugi. Ten punkt widzenia uogólnia teoria kategorii przez pojęcie morfizmu.

Przykładowo, obiekty $a$ i $b$ mogą być zbiorami, a $f$ funkcją $f \colon a \to b$ ; $a$ i $b$ mogą być zbiorami uporządkowanymi, a $f$ funkcją monotoniczną; $a$ i $b$ strukturami algebraicznymi, a $f$ homomorfizmem; $a$ i $b$ formułami, a $f$ wyprowadzeniem (dowodem) $b$ z $a$ ; $a$ i $b$ liczbami naturalnymi, a $f$ macierzą $b \times a$ . We wszystkich przypadkach dla każdego obiektu mamy morfizm identycznościowy (np. identyczność, dowód pusty, macierz jednostkowa) i składanie morfizmów (składanie funkcji, składanie dowodów, mnożenie macierzy). Za pomocą właśności morfizmów możemy określić wiele pojęć bez odwoływania się do "wnętrza" obiektów, np. możemy zdefiniować produkt, który w zależności od kategorii może być iloczynem kartezjańskim zbiorów, iloczynem grup, koniunkcją formuł itd.

[edytuj] Rys historyczny

Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, jednak pierwszą ogólną definicję funkcji podał dopiero w 1718 r. matematyk szwajcarski Jan Bernoulli.

Pełną definicję funkcji (jako przyporządkowania) pierwszy sformułował matematyk niemiecki Peter Gustav Lejeune Dirichlet w 1837 r. Dzisiaj pojęcie funkcji jest jednym z najważniejszych pojęć matematyki.

Przypisy

↑ Przy często używanych funkcjach nawias jest pomijany: $sin x$ lub $ln x$ . W niektórych wypadkach symbol funkcji pisze się po argumencie, np. $n!$ (czyt. "n silnia").
↑ W niektórych źródłach, wyraz "przeciwdziedzina" uważa się za synonim słowa "zbiór wartości", w innych zaś nie. Dlatego w matematyce wyższej nie używa się pojęcia "zbioru wartości", a "obrazu" (objaśnione poniżej).
↑ Taki algorytm musi być deterministyczny, tj. wyjścia dla takich samych wejść powinny być równe.

[edytuj] Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Pojęcie funkcji

Zobacz hasło funkcja w Wikisłowniku

[0] Przy często używanych funkcjach nawias jest pomijany: $sin x$ lub $ln x$ . W niektórych wypadkach symbol funkcji pisze się po argumencie, np. $n!$ (czyt. "n silnia").

[1] W niektórych źródłach, wyraz "przeciwdziedzina" uważa się za synonim słowa "zbiór wartości", w innych zaś nie. Dlatego w matematyce wyższej nie używa się pojęcia "zbioru wartości", a "obrazu" (objaśnione poniżej).

[2] Taki algorytm musi być deterministyczny, tj. wyjścia dla takich samych wejść powinny być równe.

[1]

[2]

[3]

Funkcja

Spis treści